Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»20) INTEGRALE DEFINITE

Definiţii şi teoreme, interpretări geometrice, proprietăţi şi aplicaţii practice (arii de suprafeţe plane şi de rotaţie, lungimi de arce de curbă, volume şi centre de greutate) sunt prezentate, succint, în prezentul capitol.

TEORIE

Data publicarii: 07.12.2008

Definitie:

Suma Riemann (sau suma integrala) asociata functiei f, diviziunii

$\Delta$ \Delta şi sistemului de puncte intermediare ${\xi}$ {\xi} este numărul real:

${\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).$ {\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Definitie:

$Functia\;f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}$ Functia\;f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} $se\; numeste$ se\; numeste

$functie\; integrabila\; Riemann\; pe\; intervalul\;[a,b],\;daca\; exista\; un\; numar\; real\;I,$ functie\; integrabila\; Riemann\; pe\; intervalul\;[a,b],\;daca\; exista\; un\; numar\; real\;I,

$astfel\; incat\; pentru\; orice\; sir\;{(\Delta_{n})}$ astfel\; incat\; pentru\; orice\; sir\;{(\Delta_{n})} $de\; diviziuni\; a\; intervalului\;[a,b],$ de\; diviziuni\; a\; intervalului\;[a,b],

${{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;cu\;$ {{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;cu\;

$\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0$ \lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0 $si\; orice\; sir\; de\; puncte\; intermediare$ si\; orice\; sir\; de\; puncte\; intermediare

${\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),\;unde\;$ {\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),\;unde\;

${x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},$ {x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},

$sirul\; de\; sume\; integrale\; corespunzator\; este\; convergent\; la\;I.$ sirul\; de\; sume\; integrale\; corespunzator\; este\; convergent\; la\;I.

$Numarul\;I\;se\; numeste\;{integrala}\; d{efi}nita\; sau\; integrala\;functiei\;f\;pe\; intervalul\;[a,b]$ Numarul\;I\;se\; numeste\;{integrala}\; d{efi}nita\; sau\; integrala\;functiei\;f\;pe\; intervalul\;[a,b]

$si\; se\; noteaza\;\int_{a}^{b}{f(x){dx}}$ si\; se\; noteaza\;\int_{a}^{b}{f(x){dx}}

$(se\; citeste:\; integrala\;de\;la\; a\; la\; b\;din\; {f(x)dx}.)$ (se\; citeste:\; integrala\;de\;la\; a\; la\; b\;din\; {f(x)dx}.)

$Deci:\;\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.$ Deci:\;\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.

Observatii:

$Orice\; functie\; integrabila\; pe\; intervalul\;[a,b]\;este\; marginita:\; exista,\; deci,$ Orice\; functie\; integrabila\; pe\; intervalul\;[a,b]\;este\; marginita:\; exista,\; deci,

$numerele\; reale\;m,\;M,\;astfel\;{incat}\;{m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ numerele\; reale\;m,\;M,\;astfel\;{incat}\;{m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

Consecinta importanta:

$Daca\;functia\;f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}\;nu\;este\;marginita,$ Daca\;functia\;f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}\;nu\;este\;marginita,

$atunci\;f\;nu\; este\; integrabila\; pe\;[a,b].$ atunci\;f\;nu\; este\; integrabila\; pe\;[a,b].

CITEŞTE MAI DEPARTE DESPRE: TEORIE

Postat în 20) INTEGRALE DEFINITE|Vezi comentarii (0)

Limba franceză

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

Selectează acest link pentru a mă contacta prin YAHOO MESSENGER!

Categorii de probleme matematice rezolvate

Alte recomandari

Arhiva blog-ului