Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Suport teoretic:

Matrice patratica si determinant de ordinul n, rangul unei matrice, minor al unei matrice.

Enunt:

Se da matricea:

A=\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&(n-1)&n\\(n+1)&(n+2)&(n+3)&\cdots&(2n-1)&2n\\(2n+1)&(2n+2)&(2n+3)&\cdots&(3n-1)&{3n}\\\cdots\\(n^2-2n+1)&(n^2-2n+2)&(n^2-2n+3)&\cdots&(n^2-n-1)&(n^2-n)\\(n^2-n+1)&(n^2-n+2)&(n^2-n+3)&\cdots&(n^2-1)&{n^2}\end{pmatrix},

unde\;{n}\ge{3}.

Sa se calculeze det(A) si apoi rang(A).

Raspuns:

Det(A) = - n, rang(A) = 2.

Suport teoretic:

Rangul unei matrice depinzand de 2 parametri reali.

Enunt:

Sa se calculeze rangul matricei

A=\begin{pmatrix}1&{-2}&3&0\\{-3}&1&2&{-4}\\{-7}&{-1}&a&{-12}\\7&{-4}&{-1}&b\end{pmatrix},

in functie de parametrii reali a si b.

Raspuns:

1) Daca a=12 si b=8, atunci rang(A)=2;

2) Daca a=12 si b diferit de 8, sau a diferit de 12 si b=8, atunci rang(A)=3;

3) Daca a diferit de 12 si b diferit de 8, atunci rang(A)=4.

Suport teoretic:

Operatii cu matrice de ordinul al treilea, matricea unitate, matricea nula, matrice permutabile, binomul lui Newton.

Enunt:

Se da matricea:

A=\begin{pmatrix}a&0&0\\a&a&0\\0&a&a\end{pmatrix}.

Sa se calculeze:

A^n,\;unde\;{a}\in{{\mathbb{C}}^*}, {n}\in{{\mathbb{N}}^*}.

Raspuns:

A^n={a^n}\cdot{\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n+1)}{2}&n&1\end{array}\right)}.

Suport teoretic:

Ecuatie matriciala, operatii cu matrice, sisteme de ecuatii neliniare.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia matriciala:

X^2-3X+2I_2=O_2,\;unde

X,I_2\;si\;O_2  

sunt: matrice patratica de ordinul al doilea, cu elemente naturale, matricea unitate si, respectiv, matricea nula, de acelasi ordin.

Raspuns:

{X}\in\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}1&0\\a&2\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}2&0\\a&1\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}1&b\\0&2\end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix}2&b\\0&1\end{pmatrix}}\}, unde a şi b sunt numere naturale arbitrare.

Suport teoretic:

Compunerea permutarilor, numarul de inversiuni si semnul unei permutari.

Enunt:

Se dau permutarile

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&5&3&1&4&6\end{pmatrix}\;si\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&b&c&d&e&f\end{pmatrix} .

Sa\; se\; afle\; semnul\; permutarii\;\tau,\;astfel\;incat:

{\tau}{\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&(b-c)&(e-d)&2&(c+f)&(e-a)\end{pmatrix}.

Raspuns:

\epsilon(\tau)=-1.